Matikkatriidi - apuja matemaattisiin pulmiin

[Grez]

15km/L on tietysti 7,5L/100km HÄH paitsi ei olekkaan (100/15) = 6,67L/100km

Aivot vielä jumissa eli mitenkäs se 20km/L ja 10km/L puoliväli ei olekkaan 7,5?

Käänteisarvojen keskiarvo (1/a+1/b)/2 ei ole sama kuin keskiarvojen käänteisarvo 1/(a/2+b/2)

Tuossa olet siis nimenomaan laskenut keskiarvoja, et "puoliväliä". Puolivälin arvo riippuu käyrästä.

Jos haluat korvata rinnakkain laitetut 2kΩ ja 1kΩ vastukset kahdella samanarvoisella, niin siihen ei laiteta kahta 1,5kΩ vastusta vaan kaksi ~1,33kΩ vastusta.
( 1/2 + 1/1 ) ≈ ( 1/1,33 + 1/1,33 )

 

[TommiZeliard]

Ajelin tuossa töihin Japanilaisella autolla jossa mittari näytti kulutuksen "väärinpäin" kilometrejä/litralla.

Päässäni laskeskelin että jos auto kulkee:
25km/L --> 4L/100km
Vastaavasti:
20km/L --> 5L/100km
Ja tietty helppo lasku
10km/L --> 10L/100km
Ja silloinhan
15km/L on tietysti 7,5L/100km HÄH paitsi ei olekkaan (100/15) = 6,67L/100km

Aivot vielä jumissa eli mitenkäs se 20km/L ja 10km/L puoliväli ei olekkaan 7,5?

Kyseessä on potenssi-/käänteislukufunktio (100 / x, eli y = 100 * x ^ -1), minkä kuvaaja on positiivisella puolella käyrä, jonka kulmakerroin pienenee pienenemistään. Se k.kerroin pienenee niin, ettei käyrän arvo mene nollaan, vaikka litralla pääsisi Kuuhun ja takaisin.

Puolivälitekniikkasi toimisi, jos funktion kuvaaja olisi reilu suora, eikä käyristymällä väistäisi ylöspäin.

Liitteessä y-akselilla l/100 km ja x-akselilla km/l.

 

[TheMeII]

Ajelin tuossa töihin Japanilaisella autolla jossa mittari näytti kulutuksen "väärinpäin" kilometrejä/litralla.

Päässäni laskeskelin että jos auto kulkee:
25km/L --> 4L/100km
Vastaavasti:
20km/L --> 5L/100km
Ja tietty helppo lasku
10km/L --> 10L/100km
Ja silloinhan
15km/L on tietysti 7,5L/100km HÄH paitsi ei olekkaan (100/15) = 6,67L/100km

Aivot vielä jumissa eli mitenkäs se 20km/L ja 10km/L puoliväli ei olekkaan 7,5?

toinen on lineaarinen ja toinen ei. kaava on siis 100/x käy kummin päin vaan

ääh seuraavalla sivulla oliki jo parempi vastaus mitä en hoksannu

 

[Kaali]

Jeesatkaas taas hiukksen. Miten tämän tapainen tehtävä ratkaistaan? Noiden katkoviivojen pitäisi esittää suorakulmaista kolmiota, jotka piirsin, mutta ei ne aivan suorassa ole.

 

[edup]

Jeesatkaas taas hiukksen. Miten tämän tapainen tehtävä ratkaistaan? Noiden katkoviivojen pitäisi esittää suorakulmaista kolmiota, jotka piirsin, mutta ei ne aivan suorassa ole.

Lipputanko jakautuu kahteen osaan. Katkoviivan alla on Sepon pituus. Loppuosa on tuota suorakulmaisen kolmion sivua (alfa-kulmaa vastainen kateetti). Lisäksi tunnet suorakulmaisesta kolmiosta alfa-kulman viereisen kateetin pituuden eli Sepon etäisyyden lipputangosta ja itse alfa-kulman.

tan(alfa) = (vastaisen kateetin pituus) / (viereisen kateetin pituus). Sitten ratkaiset sen vastaisen kateetin pituuden tuosta, ja ynnäät sen kateetin ulkopuolisen lipputangon osuuden saadaksesi tangon kokonaispituuden.

 

[Kaali]

Lipputanko jakautuu kahteen osaan. Katkoviivan alla on Sepon pituus. Loppuosa on tuota suorakulmaisen kolmion sivua (alfa-kulmaa vastainen kateetti). Lisäksi tunnet suorakulmaisesta kolmiosta alfa-kulman viereisen kateetin pituuden eli Sepon etäisyyden lipputangosta ja itse alfa-kulman.

tan(alfa) = (vastaisen kateetin pituus) / (viereisen kateetin pituus). Sitten ratkaiset sen vastaisen kateetin pituuden tuosta, ja ynnäät sen kateetin ulkopuolisen lipputangon osuuden saadaksesi tangon kokonaispituuden.

Ei lähde avautumaan.. Mistä tiedän tuon alfa-kulman vastaisen kateetin pituuden? Tai miten saan sen laskettua? Piirsin itselleni seuraavanlaisesti tiedot ylös. Kulmien asteet tiedän nyt ja samoin, että etäisyys lipputankoon on tuon 15.2m, mutta tähän kohtaa tökkää ajatukset kunnolla.

 

[Delay]

"Vastaus kahden desimaalin tarkkuudella"?

 

[Grez]

No mutta vastaushan on tietysti 2 desimaalin tarkkuudella 15883,91 mm, jos oletetaan että Sepon silmät on hänen päälaellaan.

Sinänsä ottaen huomioon annettujen lähtötietojen tarkkuus niin 1,59 dam olisi myös 2 desimaalin tarkkuudella.

 

[Kaali]

"Vastaus kahden desimaalin tarkkuudella"?

Tarkoittanee siis, että vastaus on tyyliin 15,88m

 

[Grez]

Niin mä oletan että Delay viittasi siihen että ohje on aika huvittava kun ei kerrota missä yksikössä vastaus pitää antaa, mutta silti vaaditaan tietty määrä desimaaleja. Tehtävänannossakin on sekaisin cm ja m yksiköitä, joten kumpi tahansa luulisi kelpaavan yksiköksi.

Mielestäni tehvässä olisi perustellumpaa pyytää vastaus 3 tai 2 merkitsevän numeron tarkkuudella.

 

[Delay]

Joo, siis viittasin siihen, että käytännön tilanteessa mielekkäine virhetarkasteluineen ei ole mitään järkeä laskea tuota kahden desimaalin tarkkuudella. Tehtävänanto on tässä mielessä vähän huono. Puhtaasti matemaattisena ongelmana desimaaleja (tai merkitseviä numeroita) saa toki pyytää ihan niin monta kuin huvittaa - tai jopa tarkka lauseke voisi vastauksena tulla kyseeseen, jos oikein saivarrellaan.

Ja tämä siis vain oma mielipiteeni - jos tehtävänanto on käytännön ongelma, pitäisi opettajan vähän miettiä myös näitä asioita.

 

[Vaateri]

Ei lähde avautumaan.. Mistä tiedän tuon alfa-kulman vastaisen kateetin pituuden? Tai miten saan sen laskettua?

tan(alfa) = vastainen kateetti / viereinen kateetti

alfa = 43,1 ja viereinen kateetti = 15,2

Nämä sijoitettuna funktioon tulee:

Spoileri: Vastaus

tan(43,1) = a/15,2 <=> a = tan(43,1) × 15,2 <=> a = 14,2239 m = 1422,39 cm => lipputanko on 1422,39 cm + 166 cm = 1588,39 cm

 

[Kaali]

tan(alfa) = vastainen kateetti / viereinen kateetti

alfa = 43,1 ja viereinen kateetti = 15,2

Nämä sijoitettuna funktioon tulee:

Spoileri: Vastaus

tan(43,1) = a/15,2 <=> a = tan(43,1) × 15,2 <=> a = 14,2239 m = 1422,39 cm => lipputanko on 1422,39 cm + 166 cm = 1588,39 cm

Kiitos! Nyt meni vastaus oikein. Jotenkin itselläni menee nämä hemmetin tan, sin, cos vielä aivan ohi ja miten näitä oikein kunnolla käytetään. Osaan kyllä tuon rimpsun tan = alfa kulman vastainen kateetti / viereisellä kateetilla. Sin = vastainen kateetti / hypoteenuusalla. Cos = vastainen kateetti / hypotenuusalla, mutta niiden käyttö hieman hukassa. Lisäksi jos vielä täytyisi käyttää jotain Tan -1 funktioita... tms.

 

[Kaali]

Noniin.. taas yksi jatkokysymys liittyen vektoreihin ja pistetuloon / kulmaan. Miten saan laskettua (a,b) kulman tästä funktiosta/laskusta laskimella? Pistetulon sain laskettua, mutta kulmaa en onnistu sitten millään ratkaisemaan. Nettiä yrittänyt selata läpi, mutta ei siltikään tunnu löytyvän oikeata tapaa ratkaista tota. Olisin kiitollinen, jos joku voisi rautalangasta tuon itselleni vääntää.

 

[Mr_Palikka]

Noniin.. taas yksi jatkokysymys liittyen vektoreihin ja pistetuloon / kulmaan. Miten saan laskettua (a,b) kulman tästä funktiosta/laskusta laskimella? Pistetulon sain laskettua, mutta kulmaa en onnistu sitten millään ratkaisemaan. Nettiä yrittänyt selata läpi, mutta ei siltikään tunnu löytyvän oikeata tapaa ratkaista tota. Olisin kiitollinen, jos joku voisi rautalangasta tuon itselleni vääntää.

Pistetulon geometrinen määritelmä on a.b=||a|| ||b|| cos θ, jossa θ on vektorien välinen kulma ja ||a|| ja ||b|| ovat vektorien pituudet, joten cos θ = a.b/(||a|| ||b||). Eli jaat laskemasi pistetulon kummankin vektorin pituudella ja otat tästä arccos, niin saat vektorien välisen kulman.

 

[Kaali]

Pistetulon geometrinen määritelmä on a.b=||a|| ||b|| cos θ, jossa θ on vektorien välinen kulma ja ||a|| ja ||b|| ovat vektorien pituudet, joten cos θ = a.b/(||a|| ||b||). Eli jaat laskemasi pistetulon kummankin vektorin pituudella ja otat tästä arccos, niin saat vektorien välisen kulman.

Tää ei vain aukene mulle.. Pistetuloksi sain laskettua -4.72 tuosta. Jotenkin nuo "ihmemerkit" hämäävät itseäni tuossa. Onnistuisiko numeroin esittää tuo laskukaava, mitä näppäillä laskimeen?

 

[vienna]

Tää ei vain aukene mulle.. Pistetuloksi sain laskettua -4.72 tuosta. Jotenkin nuo "ihmemerkit" hämäävät itseäni tuossa. Onnistuisiko numeroin esittää tuo laskukaava, mitä näppäillä laskimeen?

Lasketaan ensin pistetulo:
= 8,3*2,4+(-7,7*3,2)= 19,92-24,64 = -4,72.

Vektorin a pituus on sqrt(8,3^2+-7.7^2)= sqrt(128,18) = 11,32166
Vektorin b pituus on sqrt(2,4^2+3,2^2) = sqrt(16) = 4.

cos(a,b) = pistetulo/(vektorin a pituus * vektorin b pituus) = -4,72 / (11,32166*4) = -4,72 / 45,28664 = -0.1042249988

Otetaan tästä kosinin käänteisfunktiolla kulman arvo eli arccos(-0,1042249988) = 95,9825, ja kulmaksi saadaan asteina noin 96 astetta. Meniköhän nyt oikein? Kävitkö pitkän matematiikan, koska tämä kuuluu vektorikurssin mukaviin ja helppoihin asioihin?

Arccos on muuten sama asia kuin cos^-1.

 

[Kaali]

Lasketaan ensin pistetulo:
= 8,3*2,4+(-7,7*3,2)= 19,92-24,64 = -4,72.

Vektorin a pituus on sqrt(8,3^2+-7.7^2)= sqrt(128,18) = 11,32166
Vektorin b pituus on sqrt(2,4^2+3,2^2) = sqrt(16) = 4.

cos(a,b) = pistetulo/(vektorin a pituus * vektorin b pituus) = -4,72 / (11,32166*4) = -4,72 / 45,28664 = -0.1042249988

Otetaan tästä kosinin käänteisfunktiolla kulman arvo eli arccos(-0,1042249988) = 95,9825, ja kulmaksi saadaan asteina noin 96 astetta. Meniköhän nyt oikein? Kävitkö pitkän matematiikan, koska tämä kuuluu vektorikurssin mukaviin ja helppoihin asioihin?

Arccos on muuten sama asia kuin cos^-1.

Iso kiitos! En ole käynyt koskaan lukion pitkää matikkaa, enkä edes lyhyttä. Tätä nykyä amk:ssa opiskelen ja siellä tulee nämä asiat vasta ensimmäistä kertaa vastaan itselleni. Tuntuu vaikealta siis nämä yksinkertaisimmatkin asiat

 

[Kaali]

Ja pään hakkaaminen vektoriprojektion pistetulojen osalta seinään jatkuu... Ei vaan aukene tämä alla oleva tehtävä, ei sitten millään. Löytyisikö apua?

--------------------------------------------------------------------------------------------------
"Hyttynen liikkui kolmiulotteisessa koordinaatistossa pisteestä A=(−8,−4,5) pisteeseen B=(13,−15,−10). Se ei kulkenut suorinta reittiä, vaan poikkesi ihmisen luona pisteessä C.

Ihmisen luo hyttynen kulki lentämällä vektorin v=−2i+2j−2k suuntaan, kunnes saapui pisteeseen C. Siellä se teki 90 asteen käännöksen kohti pistettä B. Pisteestä C hyttynen lensi suoraan pisteen B.

A) Laske pisteen C:n koordinaatit, eli missä kohdassa hyttynen tekee 90 asteen käännöksen. Anna vastaus murtolukuina (tarkkoina arvoina)

B) Laske hyttysen kulkema matka pisteestä A pisteen C kautta pisteeseen C. Koordinaatisto on metreinä."

 

[Grez]

Eikös tuossa voi hyödyntää tuota, että 90° cos on 0. Eli noiden kahden liikevektorin pistetuloksi pitää tulla 0.

Eli jos ensimmäisen etapin vektori on
-n i +n j -n k

Ja toisen etapin vektori on
(13-(-8-n)) i + (-15-(-4+n)) j + (-10-(5-n)) k
= (21+n) i + (-11-n) j + (-15+n) k

Niin näiden pistetulon täytyy olla nolla
-n*(21+n) +n*(-11-n) -n*(-15+n) = 0
-21n -n² -11n -n² + 15n -n² = 0
-3n² -17n = 0
-n * (3n+17) = 0

Eli ratkaisut ovat
n=0 (tämä voitaneen unohtaa, jos oletetaan että piste C ei ole sama kuin piste A)
tai
3n+17 = 0
n = -17/3

Tällöin 1. etapin vektori on: (17/3) i -(17/3)j +(17/3)k
Ja 2. etapin vektori on: (46/3) i -(16/3) j -(62/3)k

Eli vastaukset
A) pisteen C koordinaatit ovat
= (-7/3, -29/3, 32/3)

B) Matka on yhteensä
sqrt((17/3)² +(-17/3)² +(17/3)²) + sqrt((46/3)² +(-16/3)² + (-62/3)²)
= n. 36,095 m

(Oletin että B-kysymys oli A pisteen C kautta pisteeseen B, vaikka:

matka pisteestä A pisteen C kautta pisteeseen C

)

Edit: Näköjään ekalla yrittämällä unohdin yhden miinusmerkin. Onkohan tässä vieläkin joku luku väärin vai olenko laskenut jotain väärin, kun tuloksessa mennään päinvastaiseen suuntaan kuin mihin tehtävässä käsketään

 

[TommiZeliard]

Eikös tuossa voi hyödyntää tuota, että 90° cos on 0. Eli noiden kahden liikevektorin pistetuloksi pitää tulla 0.

Eli jos ensimmäisen etapin vektori on
-n i +n j -n k

Ja toisen etapin vektori on
(13-(-8-n)) i + (-15-(-4+n)) j + (-10-(5-n)) k
= (21+n) i + (-11-n) j + (-15+n) k

Niin näiden pistetulon täytyy olla nolla
-n*(21+n) +n*(-11-n) -n*(-15+n) = 0
-21n -n² -11n -n² + 15n -n² = 0
-3n² -17n = 0
-n * (3n+17) = 0

Eli ratkaisut ovat
n=0 (tämä voitaneen unohtaa, jos oletetaan että piste C ei ole sama kuin piste A)
tai
3n+17 = 0
n = -17/3

Tällöin 1. etapin vektori on: (17/3) i -(17/3)j +(17/3)k
Ja 2. etapin vektori on: (46/3) i -(16/3) j -(61/3)k

Eli vastaukset
A) pisteen C koordinaatit ovat
= (-7/3, -29/3, 32/3)

B) Matka on yhteensä
sqrt((17/3)² +(-17/3)² +(17/3)²) + sqrt((46/3)² +(-16/3)² + (-61/3)²)
= n. 36,095 m

(Oletin että B-kysymys oli A pisteen C kautta pisteeseen B, vaikka:
)

Edit: Näköjään ekalla yrittämällä unohdin yhden miinusmerkin. Onkohan tässä vieläkin joku luku väärin vai olenko laskenut jotain väärin, kun tuloksessa mennään päinvastaiseen suuntaan kuin mihin tehtävässä käsketään

Ei kannata olla millänsäkään tuosta v-vektorin "peruuttelusta". Lopullista etumerkkiä ei aina tiedä etukäteen. Hyttynkäiset ovat arvaamattomia liikkeissään. Odottamaasi suuntaan lentäessään ja ysikympin käännöksen jälkeen hyttynen ei ikinä kohtaisi pistettä B.

Olet laskenut aivan oikein, paitsi 2. etapin vektorin k-suuntainen kerroin pitäisi olla -61/3 sijaan -62/3. Ei vaikuta b-kohdan matkaan milliäkään, eli tulee sama ~36,1 m (~36,095 m).

@Kaali

 

[Grez]

Olet laskenut aivan oikein, paitsi 2. etapin vektorin k-suuntainen kerroin pitäisi olla -61/3 sijaan -62/3. Ei vaikuta b-kohdan matkaan milliäkään, eli tulee sama ~36,1 m (~36,095 m).

Hups, korjaan. Jos olisin laskentut tuolla 61/3, niin matkasta ei tulisi millilleen sama (vaan 35,834m), mutta olin laskenut sen tuolla oikealla arvolla (-20,666...) mutta tehnyt ajatuskömmähdyksen kun muuttanut sitä murtoluvuksi.

Ei kannata olla millänsäkään tuosta v-vektorin "peruuttelusta"

Joo, sinänsä vaan jos tehtävänanto on että jokin lähtee vektorin suuntaan niin se ei saisi lähteä vastakkaiseen suuntaan (tai sitten tehtävässä pitäisi olla että lähtee suuntaan tai vastakkaiseen suuntaan). Hieman epäilen että tehtävää kopioitaessa on jokin numero tai etumerkki kopioitunut väärin. Tosin onhan sellaisiakin tehtäviä tullut vastaan jossa tehtävänanto on virheellinen.

Jos tehtävänanto olisi virheetön ja kertoimen ratkaisusta saadut juuret olisi positiivinen ja negatiivinen niin sitten tuloksista pitäisi eliminoida vaihtoehto, jossa pakitetaan.

Sinänsä jos vastakkaiseen suuntaan ei saa lentää, niin vastaus on tosiaan että hyttynen ei saavu koskaan perille, ellei koordinaatisto ole sellainen että se kiertää ympäri. Ja silloinkin tehtävä olisi mahdoton ratkaista ilman että koordinaatisto tunnetaan.

 

[Kaali]

Iso kiitos @Grez ja @TommiZeliard ! Pääsin taas yhden pykälän eteenpäin näissä ja ehkä taas valaistui paremmin asiat. Voipi olla, että tulen jatkossakin kyselemään täällä jeesiä! Saa aina ihmetellä, että miten joku oikeasti osaa näitäkin laskea...

E: Ja vastauksesi oli tosiaan Grez oikein.

 

[valexi]

Yhdessä kokeessa oli kysymys:

100µF:n kondensaattoriin vaikuttaa 230V:n jännite, jonka taajuus on vaihtelee. Kuinka suuri on kondensaattorin sähkövaraus eri taajuuksilla jännitteen ollessa huippuarvossaan?

Kondensaattorilain mukaan Q = CU, joten vastasin kaikkiin kolmeen kohtaan 0Hz, xHz ja yHz: 23mAs. Vastaus oli oikein vain 0Hz taajuudella. Ilmeisesti sähkövaraus joko pienenee tai suurenee taajuuden suhteen, mutta en löytänyt tälle mitään kaavaa opintomateriaalista tai netistä...

 

[KrisG]

Yhdessä kokeessa oli kysymys:

Kondensaattorilain mukaan Q = CU, joten vastasin kaikkiin kolmeen kohtaan 0Hz, xHz ja yHz: 23mAs. Vastaus oli oikein vain 0Hz taajuudella. Ilmeisesti sähkövaraus joko pienenee tai suurenee taajuuden suhteen, mutta en löytänyt tälle mitään kaavaa opintomateriaalista tai netistä...

Jännitteellä varmaan tarkoitettu tehollisarvoa, joten vaihtojännitteen huippuarvo on 325 V.

 

[Grez]

Tuossa puhutaan jännitteen huippuarvosta. Jos sinimuotoisen vaihtovirran nimellisarvo (RMS -jännite) on 230V niin sen huippuarvo on 2^0,5 * 230V eli noin 325,27 V. Tämä ei riipu taajuudesta (poislukien tietty DC eli "0Hz").

Reaalimaailmassahan kondensaattorilla on aina jokin sisäinen vastus ja sitä syöttävässä sähköjärjestelmässä on myös vastusta. Näin ollen vaihtovirralla reaalimaailmassa kondensattori ei koskaan lataudu ihan huippuarvoon asti, mutta tämän laskemiseksi pitäisi tietää myös ne vastukset. Tässä myös taajuus vaikuttaa.

 

[valexi]

Tuossa puhutaan jännitteen huippuarvosta. Jos sinimuotoisen vaihtovirran nimellisarvo (RMS -jännite) on 230V niin sen huippuarvo on 2^0,5 * 230V eli noin 325,27 V

Tämä on selvä. Vielä hämää tuossa tuo eri taajuuksilla sähkövarauksen laskeminen. Senhän ei pitäisi olla taajuudesta riippuva?

 

[Grez]

Tämä on selvä. Vielä hämää tuossa tuo eri taajuuksilla sähkövarauksen laskeminen. Senhän ei pitäisi olla taajuudesta riippuva?

Joo tosiaan jos vaan sinisarvoisen jänniteen huippuarvoa suhteessa nimellisjännitteeseen lasket niin se ei riipu taajuudesta. Se riippuisi tietysti aaltomuodosta, mutta sitäkään ei ilmeisesti mainittu, joten oletetaan "normaali" siniaalto. Eli kanttiaalto, kolmioaalto ja siniaalto, puhumattakaan erikoisimmista saa eri eri kertoimet.

Tosielämässä taajuuskin vaikuttaisi, kun huomioitaisiin myös vastukset.

 

[TommiZeliard]

Yhdessä kokeessa oli kysymys:

Kondensaattorilain mukaan Q = CU, joten vastasin kaikkiin kolmeen kohtaan 0Hz, xHz ja yHz: 23mAs. Vastaus oli oikein vain 0Hz taajuudella. Ilmeisesti sähkövaraus joko pienenee tai suurenee taajuuden suhteen, mutta en löytänyt tälle mitään kaavaa opintomateriaalista tai netistä...

Minulla on ruosteiset ja alkujaankin hatarat tiedot, mutta yritän nopeasti auttaa jotenkin.

Voisit googlata reaktanssin ja impedanssin.

Taajuus vaikuttaa reaktanssiin, Xc = 1 / (2π * f * C).

Esim. 50 Hz ja 100 uF:
Xc = 1 / (6,28 * 50 * 100 * 10^-6)
Xc = 31,8 ohmi

Tai 1 kHz ja 100 uF:
Xc = 1,6 ohmi

Reaktanssi vaikuttaa impedanssiin, mikä taas vaikuttaa kondensaattorin jännitteeseen, millä on vaikutus kondensaattorin energiaan. Esimerkkien luvuilla laskien taajuuden vaikutus energiaan olisi todella suuri, mutta todellisuudessa laimentavana tekijänä ollee muun piirin (sis. virta-/jännitelähde) resistanssi (=impedanssin reaaliosa).

 

[valexi]

Voisit googlata reaktanssin ja impedanssin.

Nämä on hyvinkin tuttuja käsitteitä, mitä tuossa kurssilla on jo laskeskeltu. Huipputehon huomioiminen auttoi asiaan ja tosiaan sillä taajuudella ei ollut väliä, koska myöskään sisäisiä vastuksia ei ollut ilmoitettu.

 

[Zezekärppänen]

Jos lentää lentokoneella sivumyötäisessä tuulessa, niin mistä suunnasta pitää tuulla jotta tuulen vaikutus lentokoneen nopeuteen on 0?

 

[feuerstrahl]

Jos lentää lentokoneella sivumyötäisessä tuulessa, niin mistä suunnasta pitää tuulla jotta tuulen vaikutus lentokoneen nopeuteen on 0?

Tuulen vaikutus on 0 kun lentokone liikkuu samaan suuntaan ja samalla nopeudella kuin tuuli.

 

[Lammas]

Tuulen vaikutus on 0 kun lentokone liikkuu samaan suuntaan ja samalla nopeudella kuin tuuli.

Nyt en ihan ymmärtänyt kysymystä, mutta vielä vähemmän ymmärrän tätä vastausta. Jos lentokone seuraa ympäröivän ilman liikettä, niin silloin tuulen vaikutus lentokoneen maanopeuteen on 100%. Voidaan kuvitella esim. ilmapalloa, jonka päästää ilmaan ja jonka liike lopulta määräytyy pelkän tuulen perusteella, koska ilmapallossa ei ole työntövoimaa.

Ei ole olemassa jotain maagista tuulen suuntaa, jossa tuuli vaikutus lentokoneen liikkeeseen maahan nähden jotenkin lakkaisi.

Jos taas tarkastellaan lentokoneen ilmanopeutta, niin silloin tuulella ei ole mitään vaikutusta (jos oletetaan että tuuli on ajan ja paikan suhteen vakio).

 

[Grez]

Tuulen vaikutus on 0 kun lentokone liikkuu samaan suuntaan ja samalla nopeudella kuin tuuli.

Mä olisin hieman eri mieltä tästä. Ensinnäkin tässä tapauksessa lentokone tippuu jos se ei ilmamassaan nähden liiku. Toisekseen lammas tuossa juuri kertoikin että myötätuulella voi olla jopa tuulen suuruuden verran vaikutusta koneeseen. Eli jos nopeus olisi muuten 0, niin sittenhän tuulen viemän koneen (tai ilmapallon) nopeus on tuulen nopeus.

Jos lentää lentokoneella sivumyötäisessä tuulessa, niin mistä suunnasta pitää tuulla jotta tuulen vaikutus lentokoneen nopeuteen on 0?

Jos lähdetään ajatuksesta että lentokone lentää Y-akselin suuntaan, niin X-akselin suunnasta tuleva tuuli ei vaikuta koneen nopeuteen Y-akselin suunnassa, mutta se työntää konetta pois kurssilta X-akselin suunnassa. Koneen täytyy siis kääntää nokkaa hieman tuulta vastaan jotta suunta pysyy oikeana, mutta tällöin Y-akselin suuntainen nopeuden komponentti pienenee. Tuulen täytyy siis olla sen verran Y-komponentin suuntainen, että tämä vähenemä kompensoituu. Uskon että tuulen nopeus siivoutuu pois vastauksesta, jolloin tietty tuulen kulma ei vaikuta koneen nopeuteen.

 

[Grez]

Hmm, laskin väärin, täytyypä korjailla.

 

[Lammas]

Koneen nopeus Vk j

Tuulen nopeus Vxt i + Vyt j

Lentokoneen moottori työntää konetta Vxm i + Vym j

Tuulen ja koneen moottorin x -komponentin täytyy kumota toisensa:
Vxt + Vxm = 0

Koneen vauhdin (nopeuden itseisarvo) tulee olla sama kuin moottorin työntämän vauhti:
Vk = sqrt (Vxm² + Vym²)

Moottorin y-komponentin + tuulen y-komponentin tulee olla sama kuin koneen nopeuden y-komponentti:
Vk = Vyt + Vym

Ja halutaan tietää tuulen suunta, jonka saa tuulen kulmakertoimesta:
= arctan (Vyt / Vxt)

Joo, nyt ymmärsin kysymyksen, ja ratkaisussasikin on järkeä, mutta tuo viimeinen kohta ei vielä ihan riitä, koska siinä on sekä vasen että oikea puoli tuntemattomia.

Eikö tässä kannata piirtää tasakylkinen kolmio, jossa kahden sivun pituus on Vk ja kolmannen sivun pituus on tuulen vauhti eli w := sqrt(Vxt^2+Vyt^2). Kosinilauseen avulla voidaan laskea, että eteläisimmän kulman (jos oletetaan että kone menee esim. Helsingistä Ouluun) suuruus on acos(1 - w^2/(2*Vk^2)).

Tähän pitää sitten lisätä joku 90 asteen monikerta tms. rippuen siitä, mihin verrattuna tuulen suunta halutaan esittää.

edit: Kvalitatiivisesti kulma riippuu siis tuulen vauhdin ja koneen vauhdin suhteen neliöstä. Jos tuulen vauhti on paljon isompi kuin koneen vauhti, niin ratkaisua ei ole, mikä tuntuu ihan järkevältä.

 

[Grez]

Joo, mä tulin kuitenkin siihen tulokseen, että kulma riippuu tuulen nopeuden suhteesta lentokoneen nopeuteen. Saa korjata jos olen väärässä.

Jos ajatellaan että lentokoneen nopeus on 5 i + 12 j eli vauhti 13, niin tuulen nopeus olisi siis -5 i + 1 j ja vauhti sqrt(26).

[5,12] ⋅ [-5,1] = -13
cos(kulma) * 13 * sqrt(26) = -13
cos(kulma) = -1 / sqrt(26)

Jos taas lentokoneen nopeus olisi 3 i + 4 j eli vauhti 5 niin tuulen nopeus olisi -3 i + 1 j ja vauhti sqrt(10).

[3,4] ⋅ [-3, 1] = -5
cos(kulma) * 5 * sqrt(10) = -5
cos(kulma) = -1 / sqrt(10)


Tuosta jo nähdään että kulmat on eri.


Voisihan tässä toki tehdä jonkin funktion, jossa parametrina olisi tuulen ja lentokoneen vauhdin suhde.

 

[Grez]

Edellä siis laskin, että kulma moottorin työntövoiman ja tuulen suunnan välillä ei ole vakio.

Myöskään lentokoneen kulksuunnan (joka kummassakin esimerkissä on suoraan j -vektorin suuntaan) ja tuulen suunnan välinen kulma ei ole vakio koska toisessa esimerkissä tuulen kulmakerroin on -5 / 1 ja toisessa -3 / 1

 

[Lammas]

En ymmärtänyt kahta edellistä viestiä, mutta mielestäni mun acos-kaava on edelleen oikea, paitsi että siitä puuttu edestä kerroin 0.5. Eli jos v on lentokoneen vauhti tyynellä ja w on tuulen vauhti, niin tuulen suunnan on oltava esim. b := 90 + 0.5*acos(1 - w^2/(2*v^2)), ja lentokoneen ohjaussuunta puolestaan on 2*b eli aiempi kaavani.

 

[repairman]

Askartelin autotalliin ulkoverhoukseen "helma" lautoja, jotka tulevat 60 asteen kallistukseen pystytasosta (=30deg vaakasta). Nurkkia varten pitää jiirisirkkeliin asettaa terän kallistus ja kääntö. Tähän laskentaan löytyy toki valmiit kaavat ja laskurit. Vaikkapa täältä: WoodCentral's BP Archives: Compound Miter Formula

X = arctan(cos(B) * tan(A/2))
Y = arcsin(sin(B) * sin(A/2))


Aloin kuitenkin muistin verryttelemiseksi johtamaan nuo kaavat. 90 asteen nurkalle käännön kaava arctan(cos(B)) löytyi helposti pyramidin laskuja muistelemalla, mutta tuon kulmanpuolittajan, eli terän kallistuksen kanssa alkoi lyömään tyhjää. arcsin(sin(B) * sin(45deg)) Siis mistä tuo kertolasku saadaan mukaan? Ei vain osaa perus kirvesmiehen laskuja Auttakee tyhmää!

 

[Jeesbox]

https://www.cs.helsinki.fi/u/mnykanen/ATPe/luennot5.pdf Tuolla lukee sivulla 150, että päätösongelmien joukko on ylinumeroituva. En tajua miksi. Miksihän niin on?

Chat GPT:n mukaan näin ei ole, mutta luotan kyl enemmän Helsingin yliopiston kalvoihin

 

[4play]

Aloin kuitenkin muistin verryttelemiseksi johtamaan nuo kaavat. 90 asteen nurkalle käännön kaava arctan(cos(B)) löytyi helposti pyramidin laskuja muistelemalla, mutta tuon kulmanpuolittajan, eli terän kallistuksen kanssa alkoi lyömään tyhjää. arcsin(sin(B) * sin(45deg)) Siis mistä tuo kertolasku saadaan mukaan? Ei vain osaa perus kirvesmiehen laskuja Auttakee tyhmää!

Y = arcsin(sin(B) * sin(45°))

Tämä kertolasku sin(B) * sin(45°) otetaan mukaan laskukaavaan, koska se huomioi terän kallistuksen vaikutuksen. Käytännössä siis kuinka paljon terän terävä kärki on kallistettu pois pystysuorasta asennostaan ja kuinka se vaikuttaa itse leikkaustyöhön.

Jos kertolaskua sin(B) * sin(45°) ei otettaisi mukaan, niin terän kallistuksen vaikutus terän terävän kulman pituuteen jäisi kokonaan huomiotta.

 

[4play]

https://www.cs.helsinki.fi/u/mnykanen/ATPe/luennot5.pdf Tuolla lukee sivulla 150, että päätösongelmien joukko on ylinumeroituva. En tajua miksi. Miksihän niin on?

Johtuu Cantorin diagonaaliprosessista: Cantorin diagonaaliargumentti – Wikipedia

Käytännön esimerkkinä vaikkapa kirjasto, mistä voimme laskea, kuinka monta sivua siellä on. Tämä on kuin luonnollisten lukujen joukko: suuri, mutta laskettavissa.

Nyt, kun puhumme päätösongelmista, kuvitellaan, että jokainen päätösongelma on ohje siitä, mitkä sivut kirjastosta valitaan. Esimerkiksi yksi ohje voisi olla "valitse kaikki sivut, joissa on parillinen määrä ykkösiä". Jokainen tällainen ohje luo oman uniikin kokoelmansa sivuja kirjastosta. Se, mikä tekee päätösongelmista "ylinumeroituvia", on se, että tapoja luoda näitä ohjeita tai sääntöjä on niin paljon enemmän kuin itse sivuja kirjastossa.

 

[Jeesbox]

Johtuu Cantorin diagonaaliprosessista: Cantorin diagonaaliargumentti – Wikipedia

Käytännön esimerkkinä vaikkapa kirjasto, mistä voimme laskea, kuinka monta sivua siellä on. Tämä on kuin luonnollisten lukujen joukko: suuri, mutta laskettavissa.

Nyt, kun puhumme päätösongelmista, kuvitellaan, että jokainen päätösongelma on ohje siitä, mitkä sivut kirjastosta valitaan. Esimerkiksi yksi ohje voisi olla "valitse kaikki sivut, joissa on parillinen määrä ykkösiä". Jokainen tällainen ohje luo oman uniikin kokoelmansa sivuja kirjastosta. Se, mikä tekee päätösongelmista "ylinumeroituvia", on se, että tapoja luoda näitä ohjeita tai sääntöjä on niin paljon enemmän kuin itse sivuja kirjastossa.

Johtuuko se siitä, et ihminen voi tavallaan keksiä enemmän ongelmia, mitä voidaan ilmaista binäärisesti?

 

[4play]

Johtuuko se siitä, et ihminen voi tavallaan keksiä enemmän ongelmia, mitä voidaan ilmaista binäärisesti?

Tavallaan juu. Päätösongelmat kun eivät ole vain yksittäisiä binäärijonoja, vaan ne ovat sääntöjä tai kriteereitä, jotka määrittelevät joukkoja binäärijonoista. Samalla tavalla reaalilukuja on enemmän kuin luonnollisia lukuja.

 

[repairman]

Y = arcsin(sin(B) * sin(45°))

Tämä kertolasku sin(B) * sin(45°) otetaan mukaan laskukaavaan, koska se huomioi terän kallistuksen vaikutuksen. Käytännössä siis kuinka paljon terän terävä kärki on kallistettu pois pystysuorasta asennostaan ja kuinka se vaikuttaa itse leikkaustyöhön.

Jos kertolaskua sin(B) * sin(45°) ei otettaisi mukaan, niin terän kallistuksen vaikutus terän terävän kulman pituuteen jäisi kokonaan huomiotta.

Heh, siis ongelma oli, että miten johtaa tuo kaava.

 

[4play]

Heh, siis ongelma oli, että miten johtaa tuo kaava.

Hups, kokeillaampa uudestaan. Näyttäisi siltä, että kaavassa oletetaan miten kaksi kulmaa vaikuttavat leikkauspintaan yhdistettynä.

X= arctan(cos(B) * tan(A/2))
Y = arcsin(sin(B) * sin(A/2))

--------------------------------

B: (sin(B) = laudan kallistus
A: sin(A/2) = kulma, missä laudat kohtaavat. Jaetaan kahdella, koska leikkaamme nurkkaa.

Oletetaan, että leikkauspinnan todellinen kallistuskulma johtuu näiden kahden kulman yhdistelmästä.
-> sin(B)*sin(A/2)

Eli kun leikataan laudan nurkkaa, leikkauspinta ei ole tasossa, vaan se on kallistettu sekä laudan kallistuskulman B että kulman A, jossa laudat kohtaavat, suhteen mukaan.

Yleensä kahden kulman yhdistäminen tai erottaminen tehdään käyttämällä kulmien summan tai erotuksen kaavoja. Ei sinänsä siis mitenkään standardia yhdistää kaksi kulmaa kertomalla niiden sinifunktiot, mutta toimii käytännössä

 

[Jeesbox]

Yritän tajuta tota: Bolzanon lause nollakohdasta Siel on:

Jos olisi

, olisi merkin säilyvyyden perusteella

jollain välillä

Ni mistä toi:

jollain välillä

on repästy?

 

[TheMeII]

Yritän tajuta tota: Bolzanon lause nollakohdasta Siel on: Ni mistä toi: on repästy?

Mun mielestä se on vain esimerkki joka sopii tuohon funktioon. Olen opiskellut matematiikkaa ikinä noin about tuolle tasolle ja siitäkin on jo vuosikymmeniä niin kaikkea ei muista

Mielestäni tuon pätkän ymmärtämiseen tarvitaan tämä koko kappale

 

[Johan_V]

Yritän tajuta tota: Bolzanon lause nollakohdasta Siel on: Ni mistä toi: on repästy?

Tuo seuraa funktion jatkuvuudesta: jos f(c)<0, niin f(y)<0 myös c:n jossain tarpeeksi pienessä ympäristössä. Täten on olemassa delta, jolle f(x)<0 kaikilla x \in (c,c+delta)