Matikkatriidi - apuja matemaattisiin pulmiin

Liittynyt
10.07.2017
Viestejä
254
Avataanpa tällainen triidi, kun monella tulee eteen erilaisia matemaattisia pulmia elämänsä eri vaiheissa. Joku opiskelee, toinen rakentaa ja yksi laskee muuten vain. Olipa tilanteesi mikä hyvänsä, tämä triidi on toivon mukaan hyvä edistäjä probleemaasi.

Aloitan omalla "ongelmallani". Kuvailen sen tässä alla. Kaikki luvut ovat aika reiluja pyöristyksiä, koska tämä on vain esimerkki. Jahka tähän löytäisi ratkaisun, on minulla loppusilausta vaille valmis laskentapohja tarkempaa laskentaa varten.

PULMA
Nurmikon pinta-ala on 1849 neliömetriä. Ruohonleikkurin terän halkaisija on 0,56 metriä. Ruohonleikkuria työnnetään 4 km/h eli 1,11 m/s. Kuinka kauan alueen leikkaaminen kestää ja kuinka monta metriä pitää kävellä?

Olen ihan varma, että tuota ei pidä laskea tyyliin 0,56x = 1849 = 3301,7... Pitää laskea PINTA-ALAN SUHTEEN, eli koska terä on joka puolelle yltävä eikä vain LEVEÄ. Sen pinta ala on 0,28^2 * PII = 0,24... m2. Sitten 3301,7... / 0,24... = 13757,08...

Nyt vastauksena on , että 13 757 kappaletta TERÄN PINTA-ALOJA nurmikon pinta-alaa kohti. Miten nyt saa tuosta johdettua kävelymatkan? Matkastahan olisi sitten helppo laskea edelleen siihen menevä aika eli matka / nopeus = aika... Vai onko eka "ihan varmasti väärä" ratkaisutapa kuitenkin oikein! :(
 
Viimeksi muokattu:
Liittynyt
29.10.2016
Viestejä
2 151
Mitä jos kerrot leveyden ja pituuden sun nurmikosta. Sit voit laskea, montako kertaa sun pitää työntää sitä leikkuria päästä päähän, että ollaan valmiita. Esim. jos nurmikkosi olisi 10x8m.

8/0,56 = 14,29, eli sun pitää mennä päästä päähän tuo 14,29 kertaa. Nyt kun se toinen mitta on tuo 10m, niin saadaan 142,9m

t=s/v = 142,9m/1,11m/s = 128,7s = 2min 9 sekuntia.

EDIT: Neliöjuurella selvittelin, että 43x43 olis nurmikkosi. 43/0,59=72,88 x 43 = 3133,9/1,11m/s = 2823s = n.47 min
 
Viimeksi muokattu:
Liittynyt
07.03.2017
Viestejä
1 461
Jos se nurmikko oliskin vain 0.56 metriä leveä? Pitäisi tulla vastaus aika helposti.
 
Liittynyt
05.11.2016
Viestejä
2 722
Terä ei tietenkään hyppää juuri leikatun alueen reunalle, vaan liikkuu sen 1,11 m/s ja leikkaa allaan olevan kohdan moneen kertaan.

Jos oletetaan, että kääntymiseen ei kulu aikaa ja että terä osuu tasan edellisen leikatun kaistaleen reunaan, käveltävä matka saadaan yksinkertaisesti jakamalla nurmen pinta-ala terän leveydellä: 3302 m. Siitä yhtä yksinkertaisesti saadaan aika jakamalla matka nopeudella: 2975 sekuntia, eli n. 50 minuuttia.
 
Liittynyt
17.10.2016
Viestejä
2 289
Tää täytyy olla jonkun humanististentieden opiskelijan avaus koska m^2/m ei mitenkään voi olla ’m’ yksikkönä lopputuloksessa :)... lisäät tuohon Antin laskelmaan 10% limityksen ja käännökset niin 1h on lähellä.

Toisekseen vinkkinä että annetuilla lähtötiedoilla tehtävää ei voi mitenkään ratkaista eli ensikerralla kysymykseen mukaan:
- terän haluttu/estimoitu limitys
- alueen sivujen rajat (jos ei suorakulmainen niin laskenta hankaloituu entisestään/terän verran suoraa baanaa on eri kuin 15käännöstä)
- 180 asteen käännökseen tarvittava aika
- mahdollinen 1 tai 2,3 kertaa päätyjen ajaminen ennen edes takas sahaamista(90asteen käännöksen ajan määrittely), koska et sä voi/tai kannata isolla todennäköisyydellä käännellä ahtaassa tilassa
- tavoiteltu laskennan virhetoleranssi (antaa vähän vapauksia laskijalle)

kokemusperäisestu voisi sanoa että oma ~600m^2 parilla puskalla pihassa ottaa 30min eli tuo 60min on aika lähellä totuutta...
 
Liittynyt
16.10.2016
Viestejä
2 439
PII, mitä se siellä tekee :vihellys:

PS: Otan haudanvakavasti matemaattiset ongelmat, mutta tämähän oli "raiskaus".
 
Liittynyt
17.10.2016
Viestejä
2 289
PII, mitä se siellä tekee :vihellys:

PS: Otan haudanvakavasti matemaattiset ongelmat, mutta tämähän oli "raiskaus".
Hitto, piti muuten aiemmin kommentoida että tuossa aloituksessa laitettiin kaavatkin uuteen uskoon eli ala on tästä lähtien d^2*PI :)... tuossakin kun hetken mietti että montako ~50cmx50cm itemiä menee neliöön niin aika äkkiä pitäisi ymmärtää että yksi tuollainen ei neliötä 98% täytä vaan tulos olisi likempämä 4x eli ~0,25m^2 per pala...
 

DaMan

BANNATTU
BANNED
Liittynyt
29.09.2017
Viestejä
596
Avataanpa tällainen triidi, kun monella tulee eteen erilaisia matemaattisia pulmia elämänsä eri vaiheissa. Joku opiskelee, toinen rakentaa ja yksi laskee muuten vain. Olipa tilanteesi mikä hyvänsä, tämä triidi on toivon mukaan hyvä edistäjä probleemaasi.

Aloitan omalla "ongelmallani". Kuvailen sen tässä alla. Kaikki luvut ovat aika reiluja pyöristyksiä, koska tämä on vain esimerkki. Jahka tähän löytäisi ratkaisun, on minulla loppusilausta vaille valmis laskentapohja tarkempaa laskentaa varten.

PULMA
Nurmikon pinta-ala on 1849 neliömetriä. Ruohonleikkurin terän halkaisija on 0,56 metriä. Ruohonleikkuria työnnetään 4 km/h eli 1,11 m/s. Kuinka kauan alueen leikkaaminen kestää ja kuinka monta metriä pitää kävellä?

Olen ihan varma, että tuota ei pidä laskea tyyliin 0,56x = 1849 = 3301,7... Pitää laskea PINTA-ALAN SUHTEEN, eli koska terä on joka puolelle yltävä eikä vain LEVEÄ. Sen pinta ala on 0,56^2 * PII = 0,98... m2. Sitten 3301,7... / 0,98... = 3369...

Nyt vastauksena on , että 3369 kappaletta TERÄN PINTA-ALOJA nurmikon pinta-alaa kohti. Miten nyt saa tuosta johdettua kävelymatkan? Matkastahan olisi sitten helppo laskea edelleen siihen menevä aika eli matka / nopeus = aika... Vai onko eka "ihan varmasti väärä" ratkaisutapa kuitenkin oikein! :(
1: 4kmh / 3600s * 1000 = 1,111111 m/s
2: 1,111111 m/s * 0,56 m = 0,62222 m2/s
3: 1849m2 / 0,62222m2/s = 2971,607 sekuntia (=49,53min)
4: Kuljettu matka: 2971,607s * 1,111111 m/s = 3301,8m

TAI

1: 1849m / 0,56m * 60s = 49,53min
2: Kuljettu matka: 49,53min * 60s * 1,11111m/s = 3301,8m

Taisi olla juuri tällaista joskus TKK:lla matikan peruskurssilla ;) LOL
 
Liittynyt
22.10.2016
Viestejä
7 953
"Suoraan laskemalla" nopeuksista ja pinta-aloista tulee ylioptimistisia tuloksia, koska ruohonleikkuri ei ole "täydellinen teoreettinen laite", vaan sen käytössä pitää huomioida tietyt hidasteet ja marginaalit.



Oletetaan alue neliön muotoiseksi. Tällöin sen mitat on 43x43 m.

Jätetään leikkurin käyttöön pieni varmuusmarginaali, ja leikataan soiro puolen metrin välein (jos yritetään leikata tasan 56cm välein, ei kuitenkaan onnistuta, ja väliin jää leikkaamattomia kaistaleita). 6cm on hvyä varmuusmarginaali, ja saadaan mukavan pyöreitä lukuja.

Tällöin pitää leikata 86 kpl 43m soiroa.

Jokainen 43m soiro vaatii n. 45.5m kävelyä, jos ruohonleikkuri on perässäkäveltävää mallia, koska leikkuri pitää kääntää päässä ja siirtyä leikkurin taakse käännöksen jälkeen.

Kävelyä tulee tällöin 86 * 45.5 metriä eli 3913 metriä. 1.11 m/s nopeudella tekee 3525 sekuntia eli n. 59 minuuttia kävelyaikaa.


Leikkaamalla soiron sijasta spiraalia jokaisessa käännöksessä hukattu ylimääräinen kävely vähenee 2.5 metristä n. 1.5 metriin, mutta käännöksiä tulee enemmän, kokonaisuudessaan kävelty matka ja aika menee melko samoihin.
 
Liittynyt
18.10.2016
Viestejä
5 633
Ensinnäkin noin yksinkertaisella tehtävänannolla pitää olettaa, että leikkurin terän leveydeltä kulutetaan pinta-alaa tasaisella ilmoitetulla nopeudella. Ainoaksi haasteeksi jää korrekti kaavanjohtaminen tuohon ihan ensimmäisenä esittämääsi ratkaisulogiikkaan.

Pii ei missään nimessä kuulu tämän probleeman ratkaisuun. Missään ei sanota, että ruohonleikkurissa edes on pystyakselissa pyörivä terä, ja sikäli kun on, niin siinä voi olla esimerkiksi kaksi- tai kolmiteräinen pöytä. Leikkuulaite voi myös olla teoriassa vaikka sorminiittokone, vaikka leveydeksi onkin ilmoitettu aika pieni. Etenkin kelaleikkuri on hyvin todennäköinen vaihtoehto. Jos siinä rupeat laskemaan muuten kuin janamaisella suoria viivoja teoriassa vetävällä leikkuurajalla, päädyt hyvin loputtomaan suohon.
 
Liittynyt
16.10.2016
Viestejä
2 439
PII, mitä se siellä tekee :vihellys:

PS: Otan haudanvakavasti matemaattiset ongelmat, mutta tämähän oli "raiskaus".
Täytyy vetää takaisin. Oletin eilen "pienessä hönössä" tämän olevan räbässä.

Tuossa edellä mainittu pinta-ala/leikkurin leveys ja 3600 tai 60:n sääntö aikakertoimella eri kokeiluin tekevät tämän lapsellisen helpoksi jopa kaavoja tietämättömälle, etten osannut ottaa vakavasti kysymystä. Pahoittelen tätä.
 

?..

BANNATTU
BANNED
Liittynyt
06.04.2018
Viestejä
3 133
Ei kannata kopioida suoraan läksyvihkoon.
 
Viimeksi muokattu:
Liittynyt
10.07.2017
Viestejä
254
Joka matemaatikolla on se joku vaikeasti muistettava peruskaava ja mulla se on näköjään tuo ympyrän pinta-ala. Se on r^2 x PII eikä d^2. Voi perhanan perhana. :p

On nää matemaatikot sitten tarkkaa porukkaa, kun kaikki pitää muka olla mainittuna. Jos pippelin halkaisija on 2,4 senttimetriä ja se on 11 senttimetriä pitkä, mikä on sen tilavuus? -Lähtötietojen valossa matemaatikko ei pysty ratkaisemaan tehtävää. Kun pitäisi tietää, onko pili poikkileikkaukseltaan täydellinen ympyrä, onkosiinä muhkuroita välillä, onko se hieman suuntaan tai toiseen kaartuva, vai muistuttaako muoto kärkeä kohti mennessä enemmän puolipalloa vai kolmiota. Punaniska perusjuntti matemaatikko sen sijaan pyöristäisi mittoja kaksi senttiä ylöspäin ja kertoisin pohjan pinta-alan korkeudella.

Nooh, totta puhuen, funtsin tossa ennen ketjun avaamista, jos laittaisi jotain tarkempia tietojakin peliin. Ensinnäkin ajattelin, että kääntymisiä ei oteta huomioon, ja lopullisessa laskussani ottaisin limityksen huomioon vähentämällä terän halkaisijasta 5 senttiä. Tästä on saanut nyt huomattavasti ajattelemista ja alanpa hakkaamaan Calcia nyt niin pirusti.

E1: Tuossa laskiessani huomasin yhden jutun. Miten huomioon otetaan se, kun terä on laajempi myös pituussuuntaan kuljettaessa sen lisäksi, että se on levempi? Kun verrataan vaikka 45-senttissä terää ja 56-senttistä, niin uusi terä on käytännössä 11 senttiä leveämpi JA pitempi. Eli eikö asia mene niin, että tällä 56-senttisellä samalla nopeudella se on ajourallaan 11 senttiä aiemmin uran päässä kuin 45-senttinen? En nyt hoksaa, miten otan tämän huomioon kävelymatkaa laskiessa.

Geometrian tuntemukseni ei vielä tähän riitä, niin tuleeko tuokin huomioitua jo laskutavassa Ala / Teränleveys = kävelymatka . Vai pitääkö pituussuunta huomioida jotenkin muuten?
 
Viimeksi muokattu:
Liittynyt
16.10.2016
Viestejä
10 099
"Suoraan laskemalla" nopeuksista ja pinta-aloista tulee ylioptimistisia tuloksia, koska ruohonleikkuri ei ole "täydellinen teoreettinen laite", vaan sen käytössä pitää huomioida tietyt hidasteet ja marginaalit.



Oletetaan alue neliön muotoiseksi. Tällöin sen mitat on 43x43 m.

Jätetään leikkurin käyttöön pieni varmuusmarginaali, ja leikataan soiro puolen metrin välein (jos yritetään leikata tasan 56cm välein, ei kuitenkaan onnistuta, ja väliin jää leikkaamattomia kaistaleita). 6cm on hvyä varmuusmarginaali, ja saadaan mukavan pyöreitä lukuja.

Tällöin pitää leikata 86 kpl 43m soiroa.

Jokainen 43m soiro vaatii n. 45.5m kävelyä, jos ruohonleikkuri on perässäkäveltävää mallia, koska leikkuri pitää kääntää päässä ja siirtyä leikkurin taakse käännöksen jälkeen.

Kävelyä tulee tällöin 86 * 45.5 metriä eli 3913 metriä. 1.11 m/s nopeudella tekee 3525 sekuntia eli n. 59 minuuttia kävelyaikaa.


Leikkaamalla soiron sijasta spiraalia jokaisessa käännöksessä hukattu ylimääräinen kävely vähenee 2.5 metristä n. 1.5 metriin, mutta käännöksiä tulee enemmän, kokonaisuudessaan kävelty matka ja aika menee melko samoihin.
Unohdit että kukaan ei leikkaa nurmikkoa tuntia työnnettävällä leikkurilla ilman vähintäänkin kahta kaljataukoa ja yhtä kusitaukoa.
Kävelet nurmikolta sisälle taloon jääkaapille, sanotaan 30s. Siitä kävelet ulos pihatuoliin, 15s. Avaat oluen ja juot sen nautiskellen, noin 5 minuuttia. Palaat nurmikon leikkuuseen, 15s. Eli yhteensä noin 6 minuuttia.
Toisella kertaa lasketaan sellainen minuutti (todennäköisesti vähemmän mutta pyöristetään ylöspäin) extraa kusitaukoa varten.

Eli lopputulos on että aikaa menee 72 minuuttia.
 
Viimeksi muokattu:
Liittynyt
10.07.2017
Viestejä
254
Unohdin että kukaan ei leikkaa nurmikkoa tuntia työnnettävällä leikkurilla ilman vähintäänkin kahta kaljataukoa ja yhtä kusitaukoa.
Jep, pitää paikkansa. Meillä noi tauot on vaan päälle päivän. Kukaan ei leikkaa nurmikkoa yhtenä päivänä tuntia kerralla pukattavalla koneella.

No, ei vaan ihan totta, mites toi pituussuunta otettaan huomioon tossa laskelmassa, vai tuleeko se jo huomioon laskemalla näin:

Pinta-ala / Teränleveys = Kävelymatka
 
Liittynyt
18.10.2016
Viestejä
5 633
Tuossa edellä mainittu pinta-ala/leikkurin leveys ja 3600 tai 60:n sääntö aikakertoimella eri kokeiluin tekevät tämän lapsellisen helpoksi jopa kaavoja tietämättömälle, etten osannut ottaa vakavasti kysymystä. Pahoittelen tätä.
Se helppo osa onkin laskea oikea vastaus tähän. Sen osaa(pitäisi osata) helvetin moni alakoululainenkin. 1/6 tai kuun asennon mukaan 3/6 oikeasta tai melkein oikeasta vastauksesta ja elämänkoulun makuisesta tai lukukelpoisesta selityksestä.

Vaikeampaa on ratkaista tämä muotoseikkojen puolesta korrektisti johtaen kaava, jolla saa suoraan vastauksen. Periaatteessa 6/6.

Vaikeinta on arvuutella, millaisen vastauksen kysymyksen laatija hyväksyy ja millaisesta tulee sanktioita. Voi olla jotain omakeksimiä sääntöjä merkitsevien numeroiden määrästä, ja mikään järkiselitys ei kelpaa vaan 4/6 tai 5/6 täydellisestä vastauksesta.
 
Liittynyt
16.10.2016
Viestejä
2 439
Se helppo osa onkin laskea oikea vastaus tähän. Sen osaa(pitäisi osata) helvetin moni alakoululainenkin. 1/6 tai kuun asennon mukaan 3/6 oikeasta tai melkein oikeasta vastauksesta ja elämänkoulun makuisesta tai lukukelpoisesta selityksestä.
Jos tuosta tuli kiinteä tunti määrä, tyyliin 2tuntia tai jopa 1,5 tuntia niin ok. Se muuttuu astetta vaikeammaksi, jos tuo luku olisi vaikkapa 1tunti 27minuuttia. Silloin se ei ole aivan lasten tietämystasolla oletettavissa ymmärtää.
 
Liittynyt
18.10.2016
Viestejä
5 633
Jos tuosta tuli kiinteä tunti määrä, tyyliin 2tuntia tai jopa 1,5 tuntia niin ok. Se muuttuu astetta vaikeammaksi, jos tuo luku olisi vaikkapa 1tunti 27minuuttia. Silloin se ei ole aivan lasten tietämystasolla oletettavissa ymmärtää.
Lasten? Jos ymmärtää nopeuden peruskaavan tai pinta-alan, osaa varmaankin laskea tunneista sekunnit tai whatever. Eihän tuosta mitenkään voi oikein laskien saada vastaukseksi tunteja, vaan sekunteja siitä tulee. Silloin riittää laskea se tunneiksi. Jokainen tokaluokkalainen(joka oletuksena ei osaisi tehtävää ehkä muuten ratkaista) tietää, että tunnissa on 3600 sekuntia.

Olen myös vahvasti sitä mieltä, että vastauksena pitää kelpuuttaa sekunteina ilmoitettu aika, jos merkitsevien numeroiden määrä on oikea(ja sehän voi valitettavasti riippua tehtävänannon mukaan tulkitsijan mielipiteestä).

En tarkoittanut kolmivuotiaita. Esimerkiksi viidennen luokan kakarat kyllä keskimäärin osaavat, jos ovat olleet hereillä. Välttämättä kaikki keskivertoa tyhmemmät tai etenkään oikeasti ekaluokkalaiset etniset häiriköt eivät.

Koko vastaukseni ydin oli pääteltevissä eli käytännössä lukiossahan tällaisia tehtäviä ratkotaan. Enin osa foorumin käyttäjistä varmaankin on käynyt moisen opinahjon ja vähän laajemmallakin oppimäärällä kuin uskonto, ranska, terveystieto ja naisten matematiikka(joka sisältää tämäntasoisia pähkinöitä).
 
Liittynyt
16.10.2016
Viestejä
2 439
Lasten? Jos ymmärtää nopeuden peruskaavan tai pinta-alan, osaa varmaankin laskea tunneista sekunnit tai whatever. Eihän tuosta mitenkään voi oikein laskien saada vastaukseksi tunteja, vaan sekunteja siitä tulee. Silloin riittää laskea se tunneiksi. Jokainen tokaluokkalainen(joka oletuksena ei osaisi tehtävää ehkä muuten ratkaista) tietää, että tunnissa on 3600 sekuntia.
Pyydän anteeksi, virhe taisi olla alunperin lähtöisin tästä osoitteesta. Se johtuu osittain myös AP:n ongelmaan perehtymisestä ja topicin ymmärtämisen hänen ongelmaansa.

Ja tämä sitten AP:lle tiedoksi, ettei tuomio suinkaan ole mikään "ikuinen päätös". Hyvä otsikko, jolle on monta hyvää jatketta,
 
Viimeksi muokattu:
Liittynyt
10.07.2017
Viestejä
254
Mennäänpä uuden kivan pulman pariin!

"Aurinkoakku 2018"

Täähän on aika pitkälti ihan utopistinen ajatus koko roska, mutta kiinnostava roska. Eli jos rakentaisin pihalleni vesitornin. Torniin pumpattaisiin kesäauringolla paneelien tuottamalla sähköllä vettä omasta kaivosta. Tornissa olisi siis vesisäiliö, ja iso sellainen. Talviaikaan vesi sitten valutettaisiin painovoimaisesti 400 V:n talosähköä tuottavan generaattorin vesiturbiinin läpi sähkölämmitystä varten. Jos ajatellaan, että talvisaikaan sähköä menee 8000 kWh, niin kuinka korkea tornin pitäisi olla, ja kuinka suuri pitäisi olla tornisäiliön tilavuus? Huippukulutuspiikit ovat luokkaa 10 kW, eli generaattorin pitäisi siis pystyä tuohon tehoon. Ja tietysti, ei se niin tarkkaa ole, kun ylimenevä voitaisiin ottaa valtakunnanverkosta tarvitessa.

Korkeudesta tiedetään sen verran, että painovoimasesti virtaavan putkistoveden paine lisääntyy baarilla jokaista kymmentä metriä kohden, eli käsittääkseni 10 metrin korkuisen tornin alas tulevasta letkusta saataisiin baarin paineella vettä. Se taas johtaisi siihen, että virtaamaa pitäisi kasvattaa verrattuna korkeampaan torniin. Virtaama totta kai pitäisi olla mahdollisimman pieni, jotta tankkiin tarvisi mahdollisimman vähän vettä. Jos nyt kuitenkin asetettaisiin jokin raja tornin korkeudelle, olkoon se 20 metriä. Käytännössä tässä on aikamoinen optimointitehtävä kyseessä.

Vesiturbiinin sähköntuoton hyötysuhde taitaa olla loistokas yli 90 prosenttia. Mietin nyt sitä, mitenkäs lähtisimme funtsimaan laskelmia. Ainakin kineettinen, eli liike-energia on yksi keskeisistä osista laskelmia. Kannattaisi varmasti olla muuttuvavirtaamainen systeemi, eli virtaama muuttuisi kulutuksen mukaan, ja siten myös turbiiniin kierrosluku. Turbiinissakin varmaan pitäisi olla muuttavat siipikulmat, vai tarvitsisiko tässä tapauksessa ollakaan? No, nämä nyt eivät suoranaisesti varmaakaan laskelmaan liity.

Ja sitten palstaetsiville tiedoksi! Tämä ei ole korkeakoulun tai minkään muunkaan opinahjon kotiläksy, oppari tai mikään muukaan, vaan omaan päähän pälkähtänyt pähkähullu idea. :)
 
Viimeksi muokattu:
Liittynyt
10.12.2016
Viestejä
109
Vesiturbiinin sähköntuoton hyötysuhde taitaa olla loistokas yli 90 prosenttia. Mietin nyt sitä, mitenkäs lähtisimme funtsimaan laskelmia. Ainakin kineettinen, eli liike-energia on yksi keskeisistä osista laskelmia. Ja sitten palstaetsiville tiedoksi! Tämä ei ole korkeakoulun tai minkään muunkaan opinahjon kotiläksy, oppari tai mikään muukaan, vaan omaan päähän pälkähtänyt pähkähullu idea. :)
Nääh...

Vedellä on tietty potentiaalienergia, joka on yksinkertaista laskea jouleina. Yksi kWh on 3,6*10^6 joulea.

Laske siitä :)
 
Liittynyt
24.10.2016
Viestejä
75
Tuossa isommassa mittakaavassa, ei siis torni vaan järvi.

Jos tuo torni tehtäisiin ja laskettaisiin generaattorin teho, vaikuttavat korkeuden lisäksi myös putkistojen ja mutkien aiheuttamat painehäviöt, sekä virtausnopeuden/määrän osuminen generaattorin turbiinin toiminta-alueeseen. Lisäksi jos valtakunnanverkon kanssa pitää järjestelmän toimia synkassa tulee kierrosnopeudet (siis hertzit) osua samoiksi. En jaksa alkaa nyt laskemaan, mutta nuo nyt ainakin huomioitava
 
Liittynyt
10.07.2017
Viestejä
254
Toi invertterihän ei välttämättä kuulu tähän ongelmaan, kun ne on valmiita paketteja, mitkä hoitaa tahdistuksen valtakunnanverkkoon? Ainakin jos on tasavirtagenkku.

Mut se, mikä tässä pitäis laskea on nuo aiemmat eli tornin tilavuus. Sulapidosta sen verran, että ajatellaan, että se ei jäädy. Vaikka hyvin eristetty termospullo tms. Tai glykolia. tms. Ja se veden valutus vaikka toiseen maanalaiseen säiliöön. Tai vaihotehtoisesti, jos pelkkää vettä, niin omaan imeytyskentälliseen likakaivoon.
 
Liittynyt
17.10.2016
Viestejä
4 192
Oletetaan tornin korkeudeksi se maksimissaan 20m. Oletetaan myös että kaikki vesi voidaan pumpata sinne lakikorkeudelle, eli kyseessä on huomattavan leveä torni.

Veden potentiaalienergia korkeudella h on
E_p = mgh (1)

Vaadittu sähköenergia E_s = 8000 kWh = 8000 kWh = 8000000 Wh * 3600 s/h = 28 800 000 000 J

Oletetaan että veden potentiaalienergia saadaan muunnettua häviöittä sähköksi (ei pidä paikkaansa, mutta suuruusluokka saadaan kivasti tällä), tällöin E_p = E_s.

Vaadittava massa, kaavasta 1 on siis:
m = E_p/gh = E_s/gh = 28 800 000 000 J / (9,81 m/s^2 * 20 m) ~= 147 miljoonaa kiloa. Eli vaatimattomat 147 tuhatta kuutiota.

Tuota vielä kasvattaa kaikki häviöt, sekä se että kaikkea vettä ei todellakaan voida pumpata sinne tornin lakipisteen korkeudelle. Aikamoisen tornin saat rakentaa.
 
Liittynyt
10.07.2017
Viestejä
254
Oletetaan tornin korkeudeksi se maksimissaan 20m. Oletetaan myös että kaikki vesi voidaan pumpata sinne lakikorkeudelle, eli kyseessä on huomattavan leveä torni.

Veden potentiaalienergia korkeudella h on
E_p = mgh (1)

Vaadittu sähköenergia E_s = 8000 kWh = 8000 kWh = 8000000 Wh * 3600 s/h = 28 800 000 000 J

Oletetaan että veden potentiaalienergia saadaan muunnettua häviöittä sähköksi (ei pidä paikkaansa, mutta suuruusluokka saadaan kivasti tällä), tällöin E_p = E_s.

Vaadittava massa, kaavasta 1 on siis:
m = E_p/gh = E_s/gh = 28 800 000 000 J / (9,81 m/s^2 * 20 m) ~= 147 miljoonaa kiloa. Eli vaatimattomat 147 tuhatta kuutiota.

Tuota vielä kasvattaa kaikki häviöt, sekä se että kaikkea vettä ei todellakaan voida pumpata sinne tornin lakipisteen korkeudelle. Aikamoisen tornin saat rakentaa.
Loistavaa! Onhan toi säiliö aika julmetun kokoinen, mutta käsitettävissä kuitenkin. Jos olisi kuution mallinen, niin noin 52 metriä olisi sivunpituus. Olisi muuten käytännössä ainakin melkein toteutettavissa, jos talo olisi parikymmenmetrisen vaaran juurella! Säiliöhän voisi olla mitoiltaan vaikka 95 x 95 x 16 (korkeus). Kyllä pitäis saada 8000 kWh akusto mieluummin. Teslassa on 85 kWh akusto. Niitä tarvitsisi siis vaivaiset 94 kappaletta, eli arviolta ne veisivät tilaa ehkä 9,4 metriä korkeussuuntaan, kun arvioin, että akusto on 10 senttiä paksu ja auton pohjan verran pituutta ja leveyttä. Eli aika pirunmoinen akkutornikin tulisi! Heh heh, paljon on vielä akkuteknologiallakin kehittymistä.
 
Liittynyt
08.04.2017
Viestejä
748
Fillarilla ajaessa myötätuuli avittaa kivasti mutta sivutuulella vauhti hidastuu. Mikä on se tuulen suunta, joka ei vaikuta vauhtiin ollenkaan ja riippuuko se pyöräilijän ja tuulen nopeudesta. Tätä tulee usein mietittyä fillarilla ajaessa.
 
Liittynyt
16.03.2017
Viestejä
53
Fillarilla ajaessa myötätuuli avittaa kivasti mutta sivutuulella vauhti hidastuu. Mikä on se tuulen suunta, joka ei vaikuta vauhtiin ollenkaan ja riippuuko se pyöräilijän ja tuulen nopeudesta. Tätä tulee usein mietittyä fillarilla ajaessa.
Newtonin mekaaniikan lakien mukaan, kappaleen kiihtyvyys on nolla, jos kappale on levossa tai kappaleeseen kohdistuvien voimien summa (vektorisumma) on nolla. Näin ollen ainoat tilanteet jolloin tuuli ei vaikuta pyöräilijän nopeuteen ovat:

1) Ei tuule ollenkaan
2) Tuulee useammasta suunnasta niin, että tuulien voimakomponentit kumoavat toisensa esim. tuulee yhtäkovasti edestä ja takaa.

Sellainen tilanne on mahdoton, että tuulisi vain yhdestä suuntaa ja tuuli ei vaikuttaisi pyöräilijän nopeuteen.
 
Liittynyt
21.04.2017
Viestejä
306
Sellainen tilanne on mahdoton, että tuulisi vain yhdestä suuntaa ja tuuli ei vaikuttaisi pyöräilijän nopeuteen.
Mitä tapahtuu siis myötä- ja vastatuulen välisessä ”leikkauspisteessä”, missä vastatuulen aiheuttama hidastuminen ja myötätuulen aiheuttama vauhdin kasvu kohtaavat? Uskaltaisin väittää että siinä kohtaa tuuli ei vaikuta pyöräilijän nopeuteen. Se mikä suunta se on, riippuu varmasti monestakin asiasta.
 
Liittynyt
16.03.2017
Viestejä
53
Mitä tapahtuu siis myötä- ja vastatuulen välisessä ”leikkauspisteessä”, missä vastatuulen aiheuttama hidastuminen ja myötätuulen aiheuttama vauhdin kasvu kohtaavat? Uskaltaisin väittää että siinä kohtaa tuuli ei vaikuta pyöräilijän nopeuteen. Se mikä suunta se on, riippuu varmasti monestakin asiasta.
Tuulen aiheuttama voima tarvitsee jonkin kumoavan vastavoiman, jotta pyöräilijään kohdistuvien voimien summa pysyisi nollana ja näin ollen pyöräilijän nopeus muuttomattomana. Jos tuulee vain yhdestä suuntaa, niin tälläistä vastavoimaa ei ole ja pyöräilijän nopeus muuttuu väkisinkin.

Myötä- ja vastatuulen rajalla on hetken aikaa tyyntä tai sitten myötä ja vastatuulen voimakkuudet ovat samat. Molemmat skenaariot sisältyvät aikasemmassa viestissäni mainitsemiini tapauksiin.
 
Liittynyt
22.10.2016
Viestejä
7 953
Tuulen aiheuttama voima tarvitsee jonkin kumoavan vastavoiman, jotta pyöräilijään kohdistuvien voimien summa pysyisi nollana ja näin ollen pyöräilijän nopeus muuttomattomana. Jos tuulee vain yhdestä suuntaa, niin tälläistä vastavoimaa ei ole ja pyöräilijän nopeus muuttuu väkisinkin.

Ei voi tuulla yhtä aikaa monesta suunnasta.

Tuuli tulee aina tasan yhdestä suunnasta, mutta se tuulen nopeus voidaan ilmaista vektorina, jossa yhtenä komponenttina on myötä/vastatuuli ja toisena sivutuuli.


Ja muutenkin se, miten sivutuuli vaikuttaa ilmanvastukseen riippuu pyörän aerodynaamisesta muotoilusta. Jotkut uudet pyörät on onnistuttu muotoilemaan siten, että tietyillä sivutuulen efektiivisillä kulmilla(*) sivutuulikomponentin vaikutus ilmanvastukseen on jopa sitä pienentävä, "purje-efekti".


Efektiivinen kulma viittaa tässä siihen, että lasketaan pyörän ilmanopeutta, ei tuulen nopeutta maan suhteen.
 
Liittynyt
16.03.2017
Viestejä
53
No joo totta, tuuli tuskin puhaltaa useammasta suunnasta täysin yhdenaikaisesti.

Tuuli kuitekin vaikuttaa lähtökohtaisesti aina pyöräilijän nopeuteen tavalla tai toisella. Se että miten, riippuu sitten miljoonasta tekijöistä esim. vaatteista tai pyörän muotoilusta kuten @hkultala mainitsi.
 
Liittynyt
22.10.2016
Viestejä
7 953
No joo totta, tuuli tuskin puhaltaa useammasta suunnasta täysin yhdenaikaisesti.

Tuuli kuitekin vaikuttaa lähtökohtaisesti aina pyöräilijän nopeuteen tavalla tai toisella.
Jos tarkastellaan vain nopeutta, eikä muuten pyörän hallittavuutta tms. niin ei.

Myötätuuli antaa lisävauhtia pyörälle.
Vastatuuli hidastaa pyörän vauhtia.

Tuulen nopeus ja suunta on analogisia jatkuvia asioita, ja niiden vaikutus on melko jatkuva funktio.

Jossain kohtaa sen nopeuttavan myötuulen ja hidastavan vastatuulen välissä on differentiaalisen pieni kohta, jossa tämä nopeuteen vaikuttava tekijä on 0. Jatkuvalla funktiolla ei positiivisesta päästä negatiiviseen käymättä nollan kautta.

(toki siinä ilmanvastusfunktiossa voi olla joitain epäjatkuvuuskohtia tilanteissa, joissa joku virtaus irtoaa jostain, mutta todennäköisyys sille, että nämä osuu nollan kohdalle on hyvin pieni)
 
Liittynyt
16.03.2017
Viestejä
53
Jos tarkastellaan vain nopeutta, eikä muuten pyörän hallittavuutta tms. niin ei.

Myötätuuli antaa lisävauhtia pyörälle.
Vastatuuli hidastaa pyörän vauhtia.

Tuulen nopeus ja suunta on analogisia jatkuvia asioita, ja niiden vaikutus on melko jatkuva funktio.

Jossain kohtaa sen nopeuttavan myötuulen ja hidastavan vastatuulen välissä on differentiaalisen pieni kohta, jossa tämä nopeuteen vaikuttava tekijä on 0. Jatkuvalla funktiolla ei positiivisesta päästä negatiiviseen käymättä nollan kautta.

(toki siinä ilmanvastusfunktiossa voi olla joitain epäjatkuvuuskohtia tilanteissa, joissa joku virtaus irtoaa jostain, mutta todennäköisyys sille, että nämä osuu nollan kohdalle on hyvin pieni)
Ja näissä meidän keskusteluissa taitaa mennä nyt nopeuden ja vauhdin käsitteet sekaisin. Nopeushan on vektorisuuri eli sillä on voimakkuuden lisäksi myös aina suunta. Ainut suunta, josta tuuli voisi puhaltaa vaikuttamatta pyöräilijän etenemisvauhtiin on kohtisuorasti sivusta. Tällöin myötä- ja vastatuuli-komponentit ovat yhtä suuria. Pyörän suunta kuitenkin muuttuisi, jos pyöräilijä ei käyttäisi käsivarsiensa lihaksia (tuulen vastavoima) ja pitäisi pyörän tankoa paikoillaan.

Täten pysyn edelleen kannassani: tuuli vaikuttaa aina lähtökohtaisesti pyöräilijän nopeuteen:)
 
Liittynyt
21.04.2017
Viestejä
306
Ainut suunta, josta tuuli voisi puhaltaa vaikuttamatta pyöräilijän etenemisvauhtiin on kohtisuorasti sivusta.
Tästä olen erimieltä, se suunta on vähän sivusta taaksepäin (sivumyötäiseen), ei vain käsilihaksilla voi pitää pyörää pystyssä, vaan silloin osa eteenpäin menemiseen tarkoitetusta energiasta käytetään pyörän pystyssä pitämiseen, eli sivutuulen vastustamiseen.
 
Liittynyt
21.10.2016
Viestejä
614
Lainaampas ketjua.

Signaalinkäsittelyä hyppysissä mutta eipä etene tehtävät.

Funktio seuraavanlainen: Xa(t) = 3cos(600*pii*t) + 2cos(1800*pii*t), lisäksi on kerrottu että 10000 bps sekä kvantisointitasona käytetty arvoa 1024.

Pitäisi selvittää näytteenotto- ja laskostumistaajuus.

Oma intuitio sanoo, että F1 = 600/2 = 300 Hz, F2 = 1800/2 = 900Hz. Näin ollen 900 Hz "voisi" olla näytteenottotaajuus ja laskostuminen tapahtuisi @ 450Hz.

Osaako joku kouluja käynyt sanoa että meneekö edes sinne päin?
 
Liittynyt
17.10.2016
Viestejä
4
Xa(t) ei vaikuta näytteenottotaajuuteen. Signaalia Xa(t) näytteistetään 10^4 bps ja näytteistäessä käytetään 1024 kvantisointitasoa. Eli joka sekunti otetaan 10^4 bittiä dataa näytteinä. Jotta voidaan tietää, kuinka monta näytettä otetaan sekunnissa (näytteenottotaajuus), täytyy ratkaista, kuinka monta bittiä tarvitaan jokaiseen näytteeseen. Tämä ratkeaa tietenkin tuosta 1024 kvantisointitasosta.

Lisäksi laskostumistaajuudella ei varmaan tarkoiteta, millä taajuudella laskostuminen tapahtuu (Nyquistin taajuus), vaan mille taajuuksille tämä Xa(t) laskostuu, kun sitä näytteistetään tällä äsken ratkaistulla näytteenottotaajuudella.
 
Liittynyt
21.10.2016
Viestejä
614
Xa(t) ei vaikuta näytteenottotaajuuteen. Signaalia Xa(t) näytteistetään 10^4 bps ja näytteistäessä käytetään 1024 kvantisointitasoa. Eli joka sekunti otetaan 10^4 bittiä dataa näytteinä. Jotta voidaan tietää, kuinka monta näytettä otetaan sekunnissa (näytteenottotaajuus), täytyy ratkaista, kuinka monta bittiä tarvitaan jokaiseen näytteeseen. Tämä ratkeaa tietenkin tuosta 1024 kvantisointitasosta.

Lisäksi laskostumistaajuudella ei varmaan tarkoiteta, millä taajuudella laskostuminen tapahtuu (Nyquistin taajuus), vaan mille taajuuksille tämä Xa(t) laskostuu, kun sitä näytteistetään tällä äsken ratkaistulla näytteenottotaajuudella.
Laitampa privaan viestiä jos viitsit vähän avata vielä tarkemmin paria juttua.
 
Liittynyt
20.04.2018
Viestejä
87
Auttakaa tyhmää: miten ratkaistaan |x-2|-|x|+2 >= 0

Identtisesti tosihan tuo on, mutta miten tuo kuuluisi ratkaista välivaiheittain, kun eikö kolmioepäyhtälön mukaan |x-2| <= |x|+|2|, niin eikö tuossa alkuperäisessä yhtälössä nyt periaatteessa vähennetä pienemmästä suurempi...?
 
Liittynyt
17.10.2016
Viestejä
948
Auttakaa tyhmää: miten ratkaistaan |x-2|-|x|+2 >= 0

Identtisesti tosihan tuo on, mutta miten tuo kuuluisi ratkaista välivaiheittain, kun eikö kolmioepäyhtälön mukaan |x-2| <= |x|+|2|, niin eikö tuossa alkuperäisessä yhtälössä nyt periaatteessa vähennetä pienemmästä suurempi...?
Reaalimaailmassa vai kompleksiluvuille? Koska ”x” eikä ”z” oleten ensimmäisen. Helpointa on ratkaista tuo paloittain purkamalla nuo itseisarvot pois kun x on joko pienempi tai suurempi kuin, jne... (Ratkaisutapoja on toki monia muitakin.)
 
Liittynyt
20.04.2018
Viestejä
87
Reaalimaailmassa vai kompleksiluvuille? Koska ”x” eikä ”z” oleten ensimmäisen. Helpointa on ratkaista tuo paloittain purkamalla nuo itseisarvot pois kun x on joko pienempi tai suurempi kuin, jne... (Ratkaisutapoja on toki monia muitakin.)
Kyseessä siis reaaliluvut
 
Liittynyt
17.10.2016
Viestejä
380
Eli siis haet noiden itseisarvojen nollakohdat, joita ovat 0 ja 2. Saat kolme aluetta, joissa tarkastelet yhtälöä: ] -oo, 0], [0,2] ja [2, +oo[

Kun x € ] -oo, 0]
| x-2 | on aina 2-x
|x| on -x

Saadaan 2-x - -x +2 >=0, tuolla alueella tosi kaikilla x:n arvoilla.

Jne. (Sorry hauskat merkinnät, ei löytynyt puhelimesta parempia merkkejä.
 
Liittynyt
22.10.2016
Viestejä
475
Ei ole vähään aikaan tullut todennäköisyyksiä laskettua, mutta jos joku täällä tietää vastauksen.

"Heitetään kahta noppaa. Merkitään N1 = ensimmäisen nopan silmäluku ja N2 = toisen nopan silmäluku silmäluku.
Tarkastellaan silmälukujen erotusta.
a) Määrää silmälukujen erotuksen otosavaruus.
b) Määrää todennäköisyydet: P(|N1–N2| = 0),P(|N1–N2| =–5),P(|N1–N2| < 2), P(|N1–N2| = 2), P(|N1–N2| > 2)"

Ei ole sanottu tehtävässä, mutta oletan, että 6-sivuinen noppa kyseessä.

a) S= {-5,...,5}, eli 11 alkiota.

Eli lasketaanko nämä b:n kohdat siten, että jakajaksi tulee tuo 11, vai 36?

Eli esim. P(|N1-N2|=0). Onko tämän todennäköisyys 6/36, vai 6/11 ?
tai tuo viimeinen, eli P(|N1-N2|>2) = 3/11, vai 6/36..

Jostain syystä vain vaikea hahmottaa, kun kysytään tuota erotuksen arvon todennäköisyyttä.
 
Liittynyt
16.03.2017
Viestejä
53
Ei ole vähään aikaan tullut todennäköisyyksiä laskettua, mutta jos joku täällä tietää vastauksen.

"Heitetään kahta noppaa. Merkitään N1 = ensimmäisen nopan silmäluku ja N2 = toisen nopan silmäluku silmäluku.
Tarkastellaan silmälukujen erotusta.
a) Määrää silmälukujen erotuksen otosavaruus.
b) Määrää todennäköisyydet: P(|N1–N2| = 0),P(|N1–N2| =–5),P(|N1–N2| < 2), P(|N1–N2| = 2), P(|N1–N2| > 2)"

Ei ole sanottu tehtävässä, mutta oletan, että 6-sivuinen noppa kyseessä.

a) S= {-5,...,5}, eli 11 alkiota.

Eli lasketaanko nämä b:n kohdat siten, että jakajaksi tulee tuo 11, vai 36?

Eli esim. P(|N1-N2|=0). Onko tämän todennäköisyys 6/36, vai 6/11 ?
tai tuo viimeinen, eli P(|N1-N2|>2) = 3/11, vai 6/36..

Jostain syystä vain vaikea hahmottaa, kun kysytään tuota erotuksen arvon todennäköisyyttä.
a) Otosavaruus käsittää kaikki alkeistapaukset, joita on tässä tapauksessa 36 kpl eikä 11 kpl. S = {(1-1), (1-2), (2-1), (2-2), ... , (6-6)}

b) viimeisen kohdan oikea vastaus on toi jälkimmäinen eli 6/36.
 
Liittynyt
22.10.2016
Viestejä
475
a) Otosavaruus käsittää kaikki alkeistapaukset, joita on tässä tapauksessa 36 kpl eikä 11 kpl. S = {(1-1), (1-2), (2-1), (2-2), ... , (6-6)}

b) viimeisen kohdan oikea vastaus on toi jälkimmäinen eli 6/36.
Ok, luulin, että otosavaruudeksi lasketaan tuo erotuksen arvojen määrä, jossa pienin on tuo -5 ja suurin 5. Thx.
 
Liittynyt
17.10.2016
Viestejä
1 033
a) Otosavaruus käsittää kaikki alkeistapaukset, joita on tässä tapauksessa 36 kpl eikä 11 kpl. S = {(1-1), (1-2), (2-1), (2-2), ... , (6-6)}

b) viimeisen kohdan oikea vastaus on toi jälkimmäinen eli 6/36.
Otosavaruus on silmälukujen erotusfunktion saamat arvot, eli joukko {-5,...,5}.
 
Liittynyt
17.10.2016
Viestejä
315
Otosavaruus on silmälukujen erotusfunktion saamat arvot, eli joukko {-5,...,5}.
Kannattaa kirjoittaa auki se joukko, ettei tule epäselvyyksiä, sun merkinnällä luulisi että siinä on 11 alkiota, vaikka niitä on 36.
Joukko =
{
0,-1,-2,-3,-4,-5,
1,0,-1,-2,-3,-4,
2,1,0,-1,-2,-3,
3,2,1,0,-1,-2,
4,3,2,1,0,-1,
5,4,3,2,1,0
}
, josta helposti näkee että esim P(|N1-N2|=0) = 6/36

Edit: noi itseisarvo merkit tuossa ”tehtävänannossa” kyllä vähän hämää, eihän erotuksen itseisarvo ole koskaan negatiivinen..
 
Liittynyt
17.10.2016
Viestejä
1 033
Kannattaa kirjoittaa auki se joukko, ettei tule epäselvyyksiä, sun merkinnällä luulisi että siinä on 11 alkiota, vaikka niitä on 36.
Joukko =
{
0,-1,-2,-3,-4,-5,
1,0,-1,-2,-3,-4,
2,1,0,-1,-2,-3,
3,2,1,0,-1,-2,
4,3,2,1,0,-1,
5,4,3,2,1,0
}
, josta helposti näkee että esim P(|N1-N2|=0) = 6/36
Eli joukossa on 11 alkiota, koska satunnaismuuttuja saa 11 eri arvoa. Mutta pitää tietysti huomata, että eri arvoilla on eri todennäköisyydet. Jos nyt palautetaan mieleen otosavaruuden määritelmä wikipediasta:
Satunnaismuuttujan perusjoukko on kaikki sen saamat erilaisiet (sic) numeeriset arvot.
 
Liittynyt
17.10.2016
Viestejä
315
Muokataan sittenkin vielä, kyllä pysyn kannassani. @Johan_V

Eli joukossa on 11 alkiota, koska satunnaismuuttuja saa 11 eri arvoa. Mutta pitää tietysti huomata, että eri arvoilla on eri todennäköisyydet. Jos nyt palautetaan mieleen otosavaruuden määritelmä wikipediasta:
Satunnaismuuttujan perusjoukko on kaikki sen saamat erilaisiet (sic) numeeriset arvot.

Määritelmä 1.1. Kokeen eri tulokset ovat alkeistapauksia ω ja kaikkien alkeistapausten joukko on otosavaruus Ω.

b) Mikäli noppaa heitetään kaksi kertaa, otosavaruus on Ω = {(1,1),(1,2),...,(6,6)}. Alkeistapauksia on yhteensä 36 kappaletta. Tapaus A =“silmälukujen summa on 8” on havainnollistettu alla olevan taulukon avulla, johon on kirjattu kahden heiton summa.
Lähde: https://www.utu.fi/fi/yksikot/sci/yksikot/mattil/opiskelu/Documents/Luentomoniste.pdf

(Puhelimella kiva muokkailla)

Lisätään vielä toinen lainaus missä kerrottu yksiselitteisesti.

Esimerkki 3. Kahden nopan heitto satunnaisilmiönä.
Satunnaisilmiö: Kahden nopan heitto
Otosavaruus S: Silmälukuparien (i, j) (36 kpl) joukko, jossa
i = 1. nopanheiton silmäluku, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 j = 2. nopanheiton silmäluku, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6
http://math.tkk.fi/opetus/sovtoda/oppikirja/TodLaskLaskusaannot.pdf
 
Viimeksi muokattu:
Toggle Sidebar

Uusimmat viestit

Statistiikka

Viestiketjut
135 384
Viestejä
2 624 669
Jäsenet
51 353
Uusin jäsen
krishabang

Hinta.fi

Ylös Bottom